C'est aux Grecs que nous devons cette découverte ; ils ont utilisé systématiquement la représentation des nombres entiers par des figures de points régulièrement espacés. Le nom même de carré vient de cette habitude. Le carré du nombre n est le nombre des points du carré ayant n points sur chaque côté :

4

       4 ²  = 16     

 2                2²  =  4

Creusons un petit peu cette idée : écrivons les nombres entiers de I à 4 dans le carré de Côté 2, comme si on voulait numéroter les points. Nous obtenons le tableau :

Le carré de côté 3 devra contenir également les nombres de 5 à 9. Nous obtenons le tableau suivant en bordant le carré précédent par les nombres de 5 à 9, en commençant par le haut à droite, en descendant, puis en tournant à gauche une fois arrivé au coin inférieur droit. 

On peut évidemment continuer à emplir des carrés avec les nombres entiers. Si l'on opère toujours de la même manière, on arrive à un tableau de ce genre 

Les carrés parfaits, 1, 4,  9 16, 25 36, etc.                                                                 se trouvent tous à la fin de chaque carré, donc  dans la colonne de gauche. 

Etudions comment on passe d'un carré au suivant, du nombre n² au nombre (n + 1)². Raisonnons mentalement sur le tableau précédent où figure le carré de 6 : il faudra le border à droite par les six nombres de 37 à 42, mettre le nombre 43 au coin inférieur droit, puis border en dessous des six nombres de 44 à 49. Nous aurons donc ajouté - deux fois six et un - nombres. On peut donc voir qu'en général il faut ajouter (2n + 1) à n² pour obtenir (n + 1)². Les Anciens appelaient (2n + 1) le gnomon du carré n². Il appelaient gnomon d'une quantité ce qu'il faut lui ajouter pour obtenir une quantité de la même famille.