|
Le système binaire possède aussi une utilité inattendue dans les jeux mathématiques
. Le célèbre jeu de Nim permet à quiconque de faire fortune avec des allumettes, s'il trouve des partenaires assez riches... En voici le principe : un certain
nombre d'allumettes est déposé, en plusieurs tas, sur une table. Chacun des deux joueurs doit, tour à tour, enlever autant d'allumettes qu'il lui plaît, mais seulement dans l'un des tas formés. Le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.
Le premier joueur peut, en général, mener le jeu de façon
à gagner « contre toute défense ». En effet, si nous considérons un état donné de la table, chacun des paquets contient respectivement un certain nombre d'allumettes (soit par
exemple 2, 3, 6 et 7 allumettes). Ecrivons ces nombres en système
binaire.
| 2 |
= |
010 |
| 3 |
= |
011 |
| 6 |
= |
110 |
| 7 |
= |
111 |
Si le tableau est tel qu'il y
a un nombre pair
1 dans chaque colonne (comme c'est le cas dans l'exemple choisi : la première colonne contient deux
1, la seconde quatre 1, la troisième deux 1), nous dirons que c'est une position
paire. Dans le cas contraire, ce serait une position impaire. Il est clair qu'en général une position prise au hasard est impaire.
Avec quelque attention, on s'apercevra rapidement de la justesse des lois suivantes :
- Loi I : si un joueur laisse à son partenaire une position paire, celui-ci est obligé de lui rendre une position
impaire, puisqu'il modifie un seul tas, donc au moins une ccolonne.
- Loi
II : on peut toujours transformer une position impaire en une position paire. C'est là le point délicat, il
faut prendre des allumettes dans un seul tas, de façon à rendre paires toutes les colonnes qui ne le sont pas.
Laissons le lecteur s'en convaincre en examinant le jeu suivant que gagne le joueur A en suivant notre règle. Au départ, il y avait sur la table quatre tas, respectivement
de dix, sept, cinq et seize allumettes. Le jeu s'est déroulé en onze coups.
| Tas |
Joueurs |
A |
B |
A |
B |
A |
B |
A |
B |
A |
B |
A |
|
| I |
10 |
10 |
7 |
7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| II |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
3 |
0 |
|
|
|
|
| III |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
| IV |
16 |
8 |
8 |
5 |
5 |
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0
gagné |
Les positions que laisse A sont toujours paires, y compris la dernière naturellement, alors que B ne peut, quel que soit son jeu, que rendre à son adversaire une position impaire. Naturellement, la règle ci-dessus est en défaut si la
position de départ est paire, ce qui est peu probable si elle est choisie au hasard, et si B connaît la marche à
suivre.
|